奥村の卒論日誌

卒論日誌†

テーマ†

折り紙コア構造の剛性評価

進捗状況(毎週の目標と成果を書く)†

6月11日†

• 目標
  • 格子桁理論について調べる
  • 簡単な格子パネルをSalomeで作成してAsterで解いてみる
  • 手計算との比較をする
  • 格子桁のたわみ計算をしている資料(問題集など)をさがす。同じ模型をAsterで解き、結果を比較してみる
• 成果
  • 図書館で探した「例題で学ぶ 橋梁工学」には、具体的に格子桁のたわみ計算をする問題がなかった。
  • 主桁3本～5本の場合の各格子点の反力の求め方を学習したが、たわみを求めるには少々難しそう。&link(格子桁の分配係数の計算,http://www.nakanihon.co.jp/gijyutsu/Shimada/CivilDesign/DemoSoft/INFSGRIDVN0.pdf)によると、エクセルにより解析する方法が示されていた。
  • Salomeで適当なモデルを作成したが、手計算でどうやって求めるのかにたどり着いてないので、もっと単純なモデルから取り掛かることにする。

6月22日†

• 目標
  • 代わりに、&link(主桁と横桁1本ずつのとても単純なモデルを取り上げてたわみを計算する資料,https://books.google.co.jp/books?id=w1cgTsZ1yw0C&pg=PA60&lpg=PA60&dq=%E6%A0%BC%E5%AD%90%E6%9B%B2%E3%81%92%E5%89%9B%E5%BA%A6&source=bl&ots=nXGfip1ek3&sig=meZbjyjLx2FCGkkWcMcTvI8EuP0&hl=ja&sa=X&ei=EaeHVYGsHoKzmAWL9ryoDw&ved=0CB8Q6AEwAA#v=onepage&q=%E6%A0%BC%E5%AD%90%E6%9B%B2%E3%81%92%E5%89%9B%E5%BA%A6&f=false)を見つけたのでまずはこれを学習する。
  • たわみが計算できたら、Salomeで同じモデルを作成し、計算を比較する。
  • 「横桁が軸方向に連続でない場合、断面2次の計算がどうなるのか」、「連続である場合と連続でない場合とで計算式が代わるのか」など疑問も多いので、Salomeでの理論値と比較しながら研究する。
• 成果
  • 手計算とSalomeで計算させたものを比較したが、相対誤差が非常に大きく、計算方法が合っているのか、Salomeの扱いが間違っているのか断定できなかった。

6月29日†

• 目標
  • 格子桁のたわみの式\( δ=\frac{1}{1+z}\frac{Pl1^3}{48EI1}=\frac{z}{1+z}\frac{Pl2^3}{48EI2} \)が正しいのか調べる。
  • 相対誤差を算出して、信憑性のある結果が得られたら次の目標を立てる。
• 成果
  • 格子桁のたわみ計算は、公務員試験の問題集で確認したところ、合っていた。Salomeの使い方をもう一度確かめるために、いくつか単純梁を作ってみた。相対誤差が10％下回ることができないため、原因を調べたい。

7月6日†

• 目標 以下の4つを調べて、計算の精度が上がるかどうかを確かめる。
  • ティモシェンコ梁の理論(せん断変形を考慮)を用いて比較する。 \( δ=\frac{Pl^3}{48EI}+\frac{Pl}{4kGA} \)
    • 余裕があれば \( δ=\frac{1}{z+1}(\frac{Pl^3}{48EI}+\frac{Pl}{4kGA}) \)が成り立つのかを調べる。
    • 要するに、格子桁にティモシェンコ理論が使えるのかを調べる。
  • 線固定を\( y≠0 \)にする。
    • 荷重による横への膨張を考慮するため。
  • 断面2次を小さくする(横長)。
    • 断面2次が大きい(縦長)と、せん断の影響を受けやすい。
  • 中立軸に固定・載荷をつくる。
    • 実際の梁理論に近づけるため。
• 成果
  • 縦長断面(depth/width=2くらい)だと
    • 初等梁理論の誤差が大きい
    • ティモシェンコ梁理論だと誤差が小さくできる(0に非常に近い値)→しかし、ティモシェンコ理論は格子梁に応用できるかが不明。今のところできないと見ているが、研究中です･･･
  • 横長断面(depth/width=0.4～0.6くらい)だと
    • 初等梁理論とティモシェンコ梁理論の誤差が近いので、ティモシェンコ梁理論の式を使わなくてもよい。
    • そもそもの初等梁理論の相対誤差が、3～9%程度出てしまう。→初等梁理論でも誤差が0%近く出来れば、格子桁に応用できる。

7月13日†

• 目標
  • 横長断面の梁の誤差が大きくなってしまうのは、高さ方向の要素分割が少なくなり曲げたわみの精度が落ちているからと推測。これが改善できれば格子桁に応用してみる。&link(この資料,http://opencae.gifu-nct.ac.jp/pukiwiki/index.php?plugin=attach&refer=SALOME-Meca%A4%CE%BB%C8%CD%D1%CB%A1%B2%F2%C0%E2&openfile=01-10.pdf)を参考に高さ方向を細かく分割できるか試してみる。
  • 中立軸に拘束線、載荷線が作れるかどうか調べる。

夏休みの目標†

これまで単純梁での解析値と理論値との精度向上のための研究をしてきたが、一度区切りをつけて、格子桁の研究にシフトする。基本とするモデルは鋼材を使用(材料定数は、ヤング率Ｅ＝205000N/mm\( ^2 \)、ポアソン比ν＝0.3とする)し、井の字からフラクタル状に発展させていくことにする。側溝のグレーチング等を想定して、既存のモデルを参考にしたい。

10月9日†

• 目標
  • 格子桁の基本形とする桁構造を見なおしてCode Asterで解いてみる。

10月23日†

• 目標
  • 補剛材を取り付けるためにウェブを細くすると(同体積で剛性を見るため)、結果として剛性は下がる。ただし座屈に対しては有効である。補剛材を取り付けて剛性を上げるにはどうしたらよいかをもう一度練りなおしてみる。実用できるものを例にとって、新しい構造を提案できたら良いと思う。剛性ということに固執せずに、良い案があったら試してみたい。とりあえず、以下を参考に、相互に穴を空けた折り曲げ構造に着目して、剛性を調べてみたい。実用例としては、高速道路などの遮音パネルとか(？) http://www.jsme.or.jp/rc235.pdf

11月20日†

• 目標 作成した折り紙コア構造のモデルと同じ材料量の格子桁をそれぞれ2方向の剛性チェックをする。

12月10日†

• 目標 &link(格子パネルの実例,http://www.kaneso.co.jp/seihin/zumen/3RG74092.pdf)を参考にSalomeで作ってみて、同じ体積の折り紙コアパネルを作ってみる。

先行研究調査†

フラクタル関係の論文を調査する(数学的ではなく土木、構造に関わる論文) Wikiページ→文献検索→Science Direct

5月18日†

• &link(「Fractale Stiffness」で検索した論文,http://arxiv.org/pdf/1408.6272.pdf) を購読してみる。

5月27日†

• 曲げ剛性ではなく、フラクタル面そのものの接触剛性、表面形態による剛性の変化を 記述した論文であった。ナノインデンテーション試験を用いた分子レベルの論文であった。
• 構造力学に関連する論文がないか再調査する。

Salome†

6月22日†

6月22日の課題で、格子桁を作成してみた。

• 主桁3本に対し、横桁を6本取り付けたモデル。
• 主桁はb=8mm、h=10mm、フランジの厚さを1mm、ウェブの厚さを1mmにした。
• 横桁はb=10mm、h=10mm、フランジの厚さを1mm、ウェブの厚さを1.5mmにした。
• 以上のサイズで作成すると、全体の体積はちょうど12000mm\( ^2 \)になる。

• 6月22日結果
  • たわみ：2.395mm
  • 剛性：8698678
  • 比剛性(剛性/体積)：725
  • 要素数：27151

• 6月22日考察
  • 下図は変位の様子である。
  • 下図は応力分布を表している。これを見る限り、中央載荷部分に極端に応力が集中していることはなく、荷重がうまく分配されているのではないかと思う。

6月23日†

[格子桁について]>[主桁1本、横桁1本の単純な格子桁のたわみ]>[例1]に従い、 主桁1本、横桁1本の格子桁を

• l1=100
• l2=80
• E=2.84GPa
• ν=0.313
• P=1000N の条件で作成してみたが、解析時にエラーが発生した。 点載荷の方法が間違っているのではないかと思い、1本の梁で点載荷をかけてみたが、これもエラーが起きた。理由がわからない。
• 端末上ではこのような、境界条件の設定である。
  • ( CHAR=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MODE,

                       DDL_IMPO=(
                           _F(GROUP_MA='Group_2',
                              DX=0.0,
                              DY=0.0,
                              DZ=0.0,),
                           _F(GROUP_MA='Group_3',
                              DY=0.0,
                              DZ=0.0,),
                           ),
                       FORCE_NODALE=(
                           _F(GROUP_NO='Group_1',
                              FZ=-10000.0,),
                           ),
                       );

  • )

6月24日†

• 6月23日のエラーの原因
  • 梁上部の真ん中に点を打ってCreate Groupしても、Meshで切った時に、要素の境界上に来ない。これが解析出来なかった原因。下図を参照。

• 代わりに、梁上部に十字にlineを引いてPartitionし、Create Groupで交点を選択するとうまくいった。下図を参照。

• 以上を改善して作成したモデルが下図。
  • Nodes=10960
  • Volumes=47148
  • Length=2
  • たわみは、0.359285だった。

• この結果の考察については、 [格子桁について]>[主桁1本、横桁1本の単純な格子桁のたわみ]>[例1]を参照。

6月25日†

[格子桁について]>[主桁1本、横桁1本の単純な格子桁のたわみ]>[例2]に従い、 前回(6月24日)作成したものと、同じ形状で作成する。

• l1=100
• l2=80
• E=2.84GPa
• ν=0.313
• P=1000N ただし、MeshをLength=1.5にして切ってみる。

• 作成したモデルが下図。
  • Nodes=19582
  • Volumes=85152
  • たわみは、0.496932だった。

• この結果の考察については、 [格子桁について]>[主桁1本、横桁1本の単純な格子桁のたわみ]>[例2]を参照。

6月27日†

六面体要素でMeshを切ってみたが、Computeすると「！」がついてエラーになる。Asterモジュールで保存するときに、この「！Mesh_1」が選択できない。

7月6日†

格子桁のたわみ計算の方法は合っていることが、確認できた。問題はSalomeの扱いだった。もう一度、1本の単純梁で手計算とSalomeの解析結果の誤差が小さくなるかどうかを1週間で試してみた。以下の表にまとめる。

7月7日†

線拘束の方法†

これまで拘束部を線にするとpost-proで解析することができなかったので、面を細くして(0.01mmなど)線に見立てていたが、以下の方法で線拘束ができるようになった。

• ( MAIL=MODI_MAILLAGE(reuse=MAIL,

                    MAILLAGE=MAIL,
                    ORIE_PEAU_3D=_F(GROUP_MA=('Group_3',),),
                    );

• ) .commファイルで、この部分を削除すると、正常に解析できるようになる。理由は不明･･･

ティモシェンコ梁理論との比較†

これまで手計算とSalomeの解析結果を比較して、相対誤差が10%下回ることが出来なかった。モデルにしていた梁がb=10,h=20と断面2次が大きいものだったので、せん断の影響を受けていると考えられる。ここではティモシェンコ梁の理論によるたわみ式を用いて比較してみることにした。

• ティモシェンコ梁理論によるたわみ式 \( δtimo=\frac{Pl^3}{48EI}+\frac{Pl}{4kGA} \)ーーー(1)
• 比較してみた結果を以下の表にまとめる。

  x(mm)	y(mm)	z(mm)	スパンl(mm)	荷重P(N/mm)	ヤング率E(GPa)	ポアソン比ν	Length	Volumes	解析結果のたわみδ(mm)	(1)式のたわみδtimo(mm)	相対誤差(%)
  120	10	20	100	100	2.84	0.313	1.5	47822	1.2910	1.2390	4.20
  150	10	20	130	100	2.84	0.313	1.5	43521	2.6145	2.5978	0.64
  200	10	20	180	100	2.84	0.313	1.5	104167	6.6266	6.6669	-0.60

かなり相対誤差が小さく算出された。やはりモデルの断面2次の大きさから、せん断の影響を考慮しなければならなかったとわかった。

ヒンジ部分のy方向(軸方向、荷重方向でもない方向)を拘束させない†

上からの荷重に対して、横方向に膨張できるように設定する。理論値はティモシェンコ梁の理論によるたわみ計算を用いる。膨張を考慮することで、実際の梁に近くなって誤差が少なくなるかどうか調べる。

• 比較してみた結果を以下の表にまとめる。

  x(mm)

  y(mm)

  z(mm)

  スパンl(mm)

  荷重P(N/mm)

  ヤング率E(GPa)

  ポアソン比ν

  Length

  Volumes

  ヒンジ拘束

  ローラー拘束

  解析結果のたわみδ(mm)

  (1)式のたわみδtimo(mm)

  相対誤差(%)

  200

  10

  20

  180

  100

  2.84

  0.313

  1.5

  104167

  x=0 y=0 z=0

  x≠0 y=0 z=0

  6.6266

  6.6669

  -0.60

  〃

  〃

  〃

  〃

  〃

  〃

  〃

  〃

  〃

  x=0 y≠0 z=0

  x≠0 y=0 z=0

  6.6269

  〃

  -0.60

  〃

  〃

  〃

  〃

  〃

  〃

  〃

  〃

  〃

  x=0 y≠0 z=0

  x≠0 y≠0 z=0

  エラーにより測定不可

  〃

  エラーにより測定不可

7月9日†

7月7日のエラーについて†

• 以下がエラーメッセージ
  • ( Conseil & Risque: Il s'agit peut etre d'un mouvement de corps rigide mal bloque. Verifiez les conditions aux limites. Si vous faites du contact,il ne faut pas que la structure ne tienne que par le contact
  • )
• これを翻訳すると、
  • ( アドバイス、コンサルティング・リスク これはひどい剛性運動であってもよい(？) 境界条件をチェックして下さい。 接触する場合は、その構造を保持していない。
  • ) 要するに境界条件の設定をミスしてるようだった。 拘束線両方をy≠0にすると、計算できなくなる。

7月10日†

断面2次(縦横比)の変化による相対誤差の変化†

今までのように縦長の梁では断面2次が大きくなり、せん断の影響を受ける。つまり、ティモシェンコ梁の理論を用いないと、相対誤差が出てくる。断面2次を減らすことで、相対誤差を減らすことができるか確かめる。 ちなみに、今までのモデルはb=10mm,h=20mmなので、depth/width=2である。

• depth/width=0.5の場合

  x(mm)	y(mm)	z(mm)	スパンl(mm)	荷重P(N/mm)	ヤング率E(GPa)	ポアソン比ν	Length	Volumes	ヒンジ拘束	ローラー拘束	解析結果のたわみδ(mm)	初等梁理論のたわみ式δr(mm)	相対誤差\( \frac{δ-δr}{δr}*100 \)(%)	ティモシェンコ理論のたわみ式δtimo(mm)	相対誤差\( \frac{δ-δtimo}{δtimo}*100 \)(%)
  200	20	10	180	1000	2.84	0.313	1.5	70668	x=0 z=0	y=0 z=0	23.7756	25.6690	-7.38	25.9187	-8.27
  150	〃	〃	130	〃	〃	〃	〃	48433	〃	〃	9.3156	9.6699	-3.66	9.8502	-5.43
  120	〃	〃	100	〃	〃	〃	〃	70951	〃	〃	4.4233	4.4014	0.498	4.5401	-2.57

断面2次を減らすことで、相対誤差自体を減らすことはできなかったが、通常のたわみ式との相対誤差と、ティモシェンコ理論との相対誤差の差は減った。 つまり、通常のたわみ式でも実際のたわみに近づけやすいことがわかる。ただ、どれもティモシェンコ理論の方が誤差が大きくなっていた。

• depth/width=0.6の場合

  x(mm)	y(mm)	z(mm)	スパンl(mm)	荷重P(N/mm)	ヤング率E(GPa)	ポアソン比ν	Length	Volumes	ヒンジ拘束	ローラー拘束	解析結果のたわみδ(mm)	初等梁理論のたわみ式δr(mm)	相対誤差\( \frac{δ-δr}{δr}*100 \)(%)	ティモシェンコ理論のたわみ式δtimo(mm)	相対誤差\( \frac{δ-δtimo}{δtimo}*100 \)(%)
  200	20	12	180	1000	2.84	0.313	1.5	93718	x=0 z=0	y=0 z=0	14.3625	14.8548	-3.31	15.0628	-4.65
  150	〃	〃	130	〃	〃	〃	〃	51318	〃	〃	5.5282	5.5960	-1.212	5.7463	-3.795
  120	〃	〃	100	〃	〃	〃	〃	76260	〃	〃	2.6276	2.5471	3.16	2.6627	-1.32

• depth/width=0.4の場合

  x(mm)	y(mm)	z(mm)	スパンl(mm)	荷重P(N/mm)	ヤング率E(GPa)	ポアソン比ν	Length	Volumes	ヒンジ拘束	ローラー拘束	解析結果のたわみδ(mm)	初等梁理論のたわみ式δr(mm)	相対誤差\( \frac{δ-δr}{δr}*100 \)(%)	ティモシェンコ理論のたわみ式δtimo(mm)	相対誤差\( \frac{δ-δtimo}{δtimo}*100 \)(%)
  200	20	8	180	1000	2.84	0.313	1.5	73381	x=0 z=0	y=0 z=0	45.8184	50.1348	-8.610	50.4469	-9.175
  150	〃	〃	130	〃	〃	〃	〃	43667	〃	〃	7.0329	18.8865	-62.762	19.1119	-63.201
  120	〃	〃	100	〃	〃	〃	〃	57711	〃	〃	8.3199	8.5965	-3.218	8.7699	-5.13

7月13日†

中立軸に拘束線・載荷線をつくる†

• 実際の梁に近づけるために、中立軸に拘束線・載荷線をつくるが、エラーが出てしまった。
• 以下の通り。
  • ( Exception utilisateur levee mais pas interceptee. Les bases sont fermees. Type de l'exception:error

Vous avez demande l'affectation d'un modele sur un GROUP_MA,or le maillage MAIL n'en contient ancun. L'affectation du modele n'est donc pas possible.

• )

• これを翻訳すると、
  • ( ユーザー例外堤防が、キャッチされません(？) 塩基は閉じられています(？) 例外の種類：エラー

あなたが要求したGROUP_MAの要素分割、MAIL金メッシュ(？)はどれも含まれていません。 要素分割が不可能です。

• ) Meshの切り方に問題があると思われる。

7月14日†

7月13日の続き†

Meshの切り方に問題があると思われたので、拘束部分、載荷部分をPartitionするとき、面にして要素分割が跨がないようにした。 これで計算させてみたが、これでもPost-proができなかった。

Meshを細かくしてみる†

しばらくは以下の設定(7月10日にやってみたモデル)でMeshの細かさなどを変化させて、誤差を減らすにはどうすればよいか研究してみようと思う。

• Length1.0～0.8は誤差にあまり差が見られない。
• エラーについて
  • Length0.7以下はエラーが出た。
  • ( Exception utilisateur levee mais pas interceptee. Les bases sont fermees. Type de l'exception : error

Erreur lors de l'allocation dynamique. Il n'a pas été possible d'allouer une zone mémoire de longueur 52 Mo, on dépasse la limite maximum fixée à 255 Mo et on occupe déjà 208 Mo. La dernière opération de libération mémoire a permis de récupérer 0 Mo.

• )

• これを翻訳すると、
• ( ユーザー例外堤防が、キャッチされません(？) 塩基は閉じられています(？) 例外の種類：エラー ↑この上3行はいつも出てくるから、決まり文句(？)

動的割り当て中にエラーが発生しました。これは、割り当てることができませんでした。 52メガバイトの記憶領域の長さは、上限を超えた。 255メガバイトに設定し、 208メガバイトはすでに持っています。 メモリを解放する最後の操作は0メガバイトを回復する助け。

• ) 要素数は多すぎてエラーが起きたと考えられる。メモリ容量の問題だと思う。

7月23日†

要素分割の限界値†

上の表より、Length=0.7以下から計算不可だったが、スパンを80mmと少し小さいモデルにしてLength=0.7で切ってみたところ計算できた。Lengthではなく、Volumes(要素数)によって限界値があることがわかる。この要素数がどこまで多くできるかを調べようと思う。 要素が何個まで切れるのか、その限界値がわかったら、その個数内で効率的に解析するにはどのようにMesh分割すればよいか研究したい。7月14日の表と同じモデルを使い、Length=0.7から徐々にLength数を増やしていき、計算可能になるところの要素数(Volumes)を調べる。

8月4日†

格子桁の基本形の作成†

基本となる井の字型の格子桁を作成する。

• 1本の梁のサイズは、100mm×100mm×1000mm
• 梁同士の間隔は400mm
• 主桁中央上部に線荷重を掛ける
• 主桁両端下部から50mmの部分を線拘束する
• 材料定数は、ヤング率Ｅ＝205000N/mm\( ^2 \)、ポアソン比ν＝0.3

• Asterモジュールで計算させる時点でエラーが出た。
  • エラーメッセージは以下の通り
  • ( Compliation impossible; file 0804.comm,line38. Syntax error keyword argument repeated
  • )

• 翻訳すると
• ( 不可能なコンパイル。 0804.commファイルの、38行目。 構文エラーのキーワード引数を繰り返します
• )

• ちなみに0804.commファイルの38行目とは、このようになっている。
• ( CHAR=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MODE,

                     DDL_IMPO=(
                         _F(GROUP_MA='fix1',
                            DX=0.0,
                            DY=0.0,
                            DZ=0.0,),
                         _F(GROUP_MA='fix2',
                            DX=0.0,
                            DY=0.0,
                            DZ=0.0,),
                         _F(GROUP_MA='fix3',
                            DX=0.0,
                            DZ=0.0,),
                         _F(GROUP_MA='fix4',
                            DX=0.0,
                            DZ=0.0,),
                         ),
                     FORCE_ARETE=(
                         _F(GROUP_MA='load1',
                            FZ=-5.0,),
                         ),
           →38行目   FORCE_ARETE=(
                         _F(GROUP_MA='load2',
                            FZ=-5.0,),
                         ),
                     );

• )

• FORCE ARETEを2つ設定してしまったことが原因。
• 以下のように設定したらうまくいった。
• ( CHAR=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MODE,

                     DDL_IMPO=(
                         _F(GROUP_MA='fix1',
                            DX=0.0,
                            DY=0.0,
                            DZ=0.0,),
                         _F(GROUP_MA='fix2',
                            DX=0.0,
                            DY=0.0,
                            DZ=0.0,),
                         _F(GROUP_MA='fix3',
                            DX=0.0,
                            DZ=0.0,),
                         _F(GROUP_MA='fix4',
                            DX=0.0,
                            DZ=0.0,),
                         ),
                     FORCE_ARETE=(
                         _F(GROUP_MA='load1',
                            FZ=-5.0,),
        →ここをこうした  _F(GROUP_MA='load2',
                            FZ=-5.0,),
                         ),
                     );

• )

• 解析結果
  • たわみδ＝0.00411881mmであった。

9月21日†

格子桁の基本形の修正†

フラクタル状にしやすいように、以下のような基本形にしてみる。 梁のサイズ:100×100×3000(mm) 梁同士のスパン:2600(mm)

10月23日†

補剛材の取り付け†

基本形 補剛材

結果的に補剛材を取り付けたほうが下方向へのたわみが大きくなった。

格子桁について†

横桁をもつ桁構造を格子桁という。横桁は曲げ剛性があり、各主桁を連結することにより、ある主桁上の荷重を他の各主桁へ分担させる作用がある。これを荷重横分配作用という。

主桁1本、横桁1本の単純な格子桁のたわみ†

• 各桁が中心で交わる単純なモデルを扱う。以下のように定義する。
  • P:荷重
  • l1:主桁のスパン
  • l2:横桁のスパン
  • EI1:主桁の曲げ剛性
  • EI2:横桁の曲げ剛性
  • X1:主桁への荷重
  • X2:横桁への荷重σ
  • z:格子曲げ剛度
• 荷重Pは、主桁への荷重X1と、横桁への荷重X2に分担される。
  • \( P=X1+X2 \)ーーー(1)
• 主桁と横桁の中央におけるたわみδは等しいから、
  • \( δ=\frac{X1l1^3}{48E1I1}=\frac{X2l2^3}{48E2I2} \)ーーー(2)
• (2)式より、
  • \( \frac{X1l1^3}{I1}=\frac{X2l2^3}{I2} \)
  • \( z=\frac{X2}{X1}=\frac{I2}{I1}(\frac{l1}{l2})^3 \)ーーー(3)
• (1)(3)式から、
  • \( X1=\frac{1}{1+z}P \)ーーー(4)
  • \( X2=\frac{z}{1+z}P \)ーーー(4)
• (4)式を(2)式に代入する。
  • \( δ=\frac{1}{1+z}\frac{Pl1^3}{48E1I1}=\frac{z}{1+z}\frac{Pl2^3}{48E2I2} \)ーーー(5)
• ちなみに、剛性(E:ヤング率、I:断面2次モーメント)が一様の場合
  • \( δ=\frac{1}{1+(\frac{l1}{l2})^3}\frac{Pl1^3}{48EI} \)\( =\frac{Pl1^3}{48EI(1+(\frac{l1}{l2})^3)} \)\( =\frac{Pl1^3}{48EI(1+\frac{l1^3}{l2^3})} \)\( =\frac{Pl1^3l2^3}{48EI(l1^3+l2^3)} \)
• この式を用いてたわみを計算し、同じモデルをSalomeで作成してみたい。

例1†

• l1=100
• l2=80
• E=2.84GPa
• ν=0.313
• P=1000N のとき、たわみは(5)式より、0.3726060064となった。
• これをSalomeで作成して比較してみる。(Salome→6月23日/24日を参照)
• Salomeで作成したところ、たわみは0.359285だった。相対誤差を計算すると、約3.58％となった。
• 主桁1本、横桁1本の単純な格子桁のたわみではこの計算方法((5)式)で合っていると思う。試しに桁の長さやヤング率、Meshの粗さなどを変えて同じように結果が得られるかやってみる。

例2†

梁の形状は例1と同じにする。

• l1=100
• l2=80
• E=2.84GPa
• ν=0.313
• P=1000N ただし、MeshをLength=1.5にして切ってみる。
• Salomeで作成したところ、たわみは0.496932だった。相対誤差を計算すると、約33.37％となった。
• Meshを細かくしたら、誤差が大きくなった。原因を調べるとともに、まだいくつかのパターンを作って試してみたい。

例1例2の訂正†

• 点載荷をすると、載荷部分が凹んで一番変位が大きい部分ができる(青色の部分)ため、変位の最大値を見てはいけなかった。正しくは梁の下中央部分の変位を見る(緑色の部分)。
• 変位のグラフ(下図)を見ると、中央上部が突出していることがわかる。
  • 例1のたわみは、エクスポートした数値から読み取って約0.2150821453である。相対誤差は、約42.28％となった。
  • 例2のたわみは、同様に読み取って約0.21943である。相対誤差は、約41.11％となった。

• 細かくMeshを切ったほうが相対誤差は小さいという結果にはなったが、今度は誤差が大きくなり過ぎてしまった。

力学モデル†

格子桁の解析モデルは、横桁に注目する。この横桁が複数の等間隔バネ支承で支えられた連続桁とする。横桁に対して、主桁の作用をバネ支承に置き換えることができる。 この場合のバネ係数は、主桁中央に単位載荷が作用したときのたわみの逆数。 横桁場を単位荷重Pが移動するとして、バネ支承の反力X(上向き正)を求める。

弾性沈下支承上梁†

鉛直ばね定数は両端でωk、他はkとなる。 支承が3から5の場合は以下の方法で求められる。

ただし、K=6EI/a\( ^3 \)k

:K>5の場合:弾性床上の梁として近似できる :K<1/300の場合:支承の沈下を無視して剛支承上の梁として扱う

• 支承3個の場合

Xの左側は載荷、右側は反力がどの主桁を示しているかを表す。 つまり以下のようになる。

• 端に載荷したときの端の鉛直反力 X11=1-1/4ω+(4ω+2)K
• 端に載荷したときの中央の鉛直反力 X12=2/4ω+(4ω+2)K
• 中央に載荷したときの端の鉛直反力 X21=X23=2/4ω+(4ω+2)K
• 中央に載荷したときの中央の鉛直反力 X22=1-4/4ω+(4ω+2)K

格子桁への応用†

• 主桁→ばね
• 横桁→弾性沈下支承上あるいは弾性沈下回転支承上の連続桁 として解析できる

主桁のねじり剛度のない格子桁に対するLeonhardtの方法で解く

• 横桁1本の場合 格子曲げ剛度K=(l/2a)\( ^3 \)*EI/EIM :EI:横桁曲げ剛性 :EIM:主桁曲げ剛性

例）主桁数m、主桁1との格子点にP=1が作用(j=1)

格子力は

• 端に載荷したときの端の鉛直反力 X11=1-K/4ω+(4ω+2)K
• 中央に載荷したときの端の鉛直反力 X21=2K/4ω+(4ω+2)K
• 端に載荷したときのもう片方の端の鉛直反力 X31=X13=-K/4ω+(4ω+2)K

例えば右側の主桁に載荷した場合、左側の主桁は上に引っ張られる(ばねで言うと伸びてる状態)。よって反力としては下向きになる。3つ目がマイナス方向(上方向)になるのも理解できる。

折り紙コア構造†

コア構造とは†

エレベーターや階段，機械室，配管（住宅では便所，浴室，台所も）などの設備を集めて建物のコア（核）とし，これを耐震壁や構造部材として活用する建築設計手法。 (https://kotobank.jp/word/%E3%82%B3%E3%82%A2%E6%A7%8B%E9%80%A0-833480より)

コア材料は、軽量、高剛性、高強度のため航空、宇宙機分野で活用されている。加工技術の発展により自動車、鉄道、建築にも利用が広がっている。防音、遮音、断熱性、デザイン性などの優れた機能がある反面、高価格であることから建材への利用を妨げている要因になっている。市販の軽量コアのほとんどは、アルミ箔、紙、プラスチックなどを接着剤で成型しており、加工が容易であるが、コア構造の強度は接着剤の特性に大きく依存し、高温にさらされる部品には活用できない。また強化できるのは一方向位のみの剛性であり、高度な構造的要請には答えられない。 最も主流なハニカムコアは軍用機に搭載されて以来、接着剤の改良などにより様々な研究が行われた。その一方で、ハニカムコア以外のコア構造の研究はあまり行われておらず、ハニカム構造と競合するような新しい加工法などは未開発である。 軽量化が図れるコア構造は、高コストであることを克服すれば様々な工業品への利用が期待される。低コスト化を図るために、容易に作製できる新しいコアモデルの開発が必要である。

• →その点、折り紙コア構造は容易に加工できる
• →隙間を表面材で接着する必要があるので、工業的な利用は制限がかかってしまう(？)
• →ハニカムコア構造との剛性比較をするのがよいか？

試作1†

社団法人 日本機械学会 産官学連携センター研究協力事業委員会所属 「RC235 計算力学援用による折り紙工学の推進とその応用に関する調査研究分科会」より

この形を作ってみる。

• 1.正方形に等間隔に穴を開ける。
• 2.山谷に折り曲げる。
• 3.穴を空けた切れ端を隙間を接合する部材として使用する。 結果として4本の主桁に交互に蓋をした形になる。

感想として†

• 上からの荷重には確かに剛性がありそうだが、横方向、斜め方向の荷重にはめちゃくちゃ弱い気がする。とりあえず、Salomeで作ってみようと思う。

Salomeで作ったモデル

試作2†

実際にある格子パネルのモデルを作成してから、同体積の折り紙コアパネルを作ることにする。

• 参考にするモデル→&link(KANESOで販売されている格子パネル,http://www.kaneso.co.jp/seihin/zumen/3RG74092.pdf)

ガラス繊維で強化された熱硬化性樹脂(ＧＦＲＰ)

• ヤング率とポアソン比は、http://www.sankyo-ss.co.jp/about-cfrp/copy_tannsosenitomatorikusu.htmlと、http://www.miyaji-eng.co.jp/technology/pdf/27/w091-098.pdfから、

• ヤング率＝44100N/mm^2
• ポアソン比＝0.24とした。

実物は少し大きすぎたので、5分の1の大きさで作成した。 体積は1,286,000mm^3で統一した。 荷重は、約100Kgがかかったとして、1025Nとなるように単位荷重を調整した。

格子パネル†

• 短辺を拘束した片持ち梁の格子パネル
  • 単位荷重5N/mm(×載荷線205mm＝1025N)
  • Length=5
  • 要素数=114260
  • たわみδ=-9.89350～0.000523959mm

• 長辺を拘束した片持ち梁の格子パネル
  • 単位荷重1.7N/mm(×載荷線605mm＝1025N)
  • Length=5
  • 要素数=114260
  • たわみδ=-0.152713～3.40524e-05mm

折り紙コアパネル†

• 短辺を拘束した片持ち梁の折り紙コアパネル
  • 単位荷重5N/mm(×載荷線205mm＝1025N)
  • Length=5
  • 要素数=125506
  • たわみδ=-13.4411～0.00111323mm

• 長辺を拘束した片持ち梁の折り紙コアパネル
  • 単位荷重2.857N/mm(×載荷線360mm＝1028.5N)
  • Length=5
  • 要素数=125506
  • たわみδ=-0.0920527～2.79335e-05mm

それぞれ、剛性(\( N･mm^2 \))を一覧でまとめると以下の通り

考察†

格子パネルの方が曲げには強いと思っていたが、長辺を拘束したときは折り紙コアパネルの方が強かったので、なぜ...

折り曲げのみで得られるコア構造†

剛性比較†

材料量は80760mm\( ^3 \)となるようにする。 荷重は60Nである。

• まずは、折り紙コア構造を壁がない面を拘束・載荷する。 それぞれ、裏表で荷重をかけてみた。

• 表向き(上壁が8枚、下壁が4枚) δ=-4.27244e-06～-0.0502179mm 最大たわみは、局部的にたわんでしまっているところで、先端全体のたわみは、だいたい δ=-0.0251068mm

• 裏向き(上壁が4枚、下壁が8枚) δ=4.21407e-06～0.041586230mm 最大たわみは、局部的にたわんでしまっているところで、先端全体のたわみは、だいたい δ=0.0207910mm

• 次に、壁がある面を拘束・載荷する。 それぞれ、裏表で荷重をかけてみた。

• 表向き(上壁が8枚、下壁が4枚) δ=-5.50049e-06～-0.0556089mm 最大たわみは、局部的にたわんでしまっているところで、先端全体のたわみは、だいたい δ=-0.0278017mm

• 裏向き(上壁が4枚、下壁が8枚) δ=5.50101e-06～0.0551563mm 最大たわみは、局部的にたわんでしまっているところで、先端全体のたわみは、だいたい δ=0.0275754mm

たわみ方をまとめると、

壁がない面を拘束=軸方向に水平な面が増えるので、曲げに対する部材が増える。 よって、壁がない面を拘束したほうが曲げには強くなったと考えられる。 また、裏向きの方が曲げには強い=上面よりも下面に壁が多いほうが強い。

• 格子パネルでは 材料量は同じ(同体積)で、サイズも近い大きさの格子パネルで同様に実験した。 たわみは、δ=0.0321990mmであった。 折り紙コアの方が、最大たわみ(局部的なたわみだが)は大きかったが、 先端の平均的なたわみは、格子パネルにも劣らない性能を見せた。むしろ、格子パネルよりも強いのかもしれない。

折り紙コア構造と格子構造との剛性比較†

アルミ合金(E=68300N/mm\( ^2 \)、ν=0.34)を材料とし、片側を拘束(片持ち梁状態)して、もう一方に荷重98Nを載荷する。 折り紙コアパネルと格子パネルの体積は同じになるようにモデルを作成した。 それぞれ先端の最大たわみと、平均たわみを有限要素解析で算出し、剛性を出す。

モデル1†

体積を82568mm\( ^2 \)に合わせる。

• 折り紙コアパネル ↑変位の様子 ↑応力分布の様子

• 格子パネル ↑変位の様子 ↑応力分布の様子

モデル2†

体積を133384mm\( ^2 \)に合わせる。

• 折り紙コアパネル ↑変位の様子 ↑応力分布の様子

• 格子パネル ↑変位の様子 ↑応力分布の様子

モデル3†

体積を196232mm\( ^2 \)に合わせる。

• 折り紙コアパネル ↑変位の様子 ↑応力分布の様子

• 格子パネル ↑変位の様子 ↑応力分布の様子

結果†

まとめると

最大たわみを取って出した剛性である。 いずれも格子パネルの方が剛性が高いが、徐々に差を縮め、体積250000mm\( ^3 \)では折り紙コアパネルの方が剛性が高くなりそう。 折り紙コア構造は、上図の変位の様子からもわかるように、局部的にたわんでしまう箇所があるため、このような結果になったと思う。

平均たわみを取って出した剛性である。 体積が大きくなるごとに、折り紙コアパネルが格子パネルを上回る結果となった。

参考文献†

• 「最新 橋構造 第2版」著 倉西茂 中村俊一
• 「現代土木工学シリーズ５ 橋梁工学」著 林川俊郎
• 「例題で学ぶ 橋梁工学」著 中井博 北田俊行

参考サイト†

格子桁関連†

• &link(格子桁の分配係数の計算,http://www.nakanihon.co.jp/gijyutsu/Shimada/CivilDesign/DemoSoft/INFSGRIDVN0.pdf)
• &link(バネ支承で支えられた連続桁モデル,http://www.nakanihon.co.jp/gijyutsu/Shimada/CivilDesign/DesignExSoft/chapter060301.html)
• &link(格子曲げ剛度,https://books.google.co.jp/books?id=w1cgTsZ1yw0C&pg=PA60&lpg=PA60&dq=%E6%A0%BC%E5%AD%90%E6%9B%B2%E3%81%92%E5%89%9B%E5%BA%A6&source=bl&ots=nXGfip1ek3&sig=meZbjyjLx2FCGkkWcMcTvI8EuP0&hl=ja&sa=X&ei=EaeHVYGsHoKzmAWL9ryoDw&ved=0CB8Q6AEwAA#v=onepage&q=%E6%A0%BC%E5%AD%90%E6%9B%B2%E3%81%92%E5%89%9B%E5%BA%A6&f=false)
• &link(折り紙コア構造,http://www.jsme.or.jp/rc235.pdf)

Salome Meca/Code Aster関連†

• &link(Salome-Mecaチュートリアル１,https://sites.google.com/site/codeastersalomemeca/home/salome-meca-chutoriaru1)
• &link(Code Asterコマンドリスト,http://opencae.gifu-nct.ac.jp/pukiwiki/index.php?plugin=attach&refer=SALOME-Meca%A4%CE%BB%C8%CD%D1%CB%A1%B2%F2%C0%E2&openfile=00-00.pdf)
• &link(SalomeMecaの使い方,http://opencae.gifu-nct.ac.jp/pukiwiki/index.php?plugin=attach&refer=SALOME-Meca%A4%CE%BB%C8%CD%D1%CB%A1%B2%F2%C0%E2&openfile=01-10.pdf)
• &link(Code Aster&Salome Meca日本語解説,https://sites.google.com/site/codeastersalomemeca/)

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